Román Reyes (Dir): Diccionario Crítico de Ciencias Sociales

Conocimiento formal: (Sociología del)
Lógico y matemático
Emmanuel Lizcano
Universidad Nacional de Educación a Distancia

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La sociología del conocimiento científico (véase) encuentra en el pensamiento formal (lógico y matemático) el "caso más dificil posible" (D. Bloor). Su abstracción y universalidad parecen sustraer a este tipo de pensamiento de toda determinación social para situarlo más bien en ese mundo ideal separado en el que Platón alberga las formas puras.

Los habituales estudios históricos de las matemáticas y la lógica ejercitan, efectivamente, variantes más o menos sofisticadas del platonismo más ahistórico y asocial. Las historias de las matemáticas, como denuncia Lakatos, "exhiben una acumulación de verdades eternas" donde el pasado no consiste sino en un repertorio de "lamentables errores" donde, en el mejor de los casos, se puede en ocasiones "entresacar de la basura fragmentos luminosos de la verdad eterna". En las antípodas de la construcción social, la historia de las matemáticas se presenta como la de un des-cubrimiento progresivo de unas verdades que siempre han estado ahí, esperando ver caer el velo que las cubría. Desde que la mirada kuhniana ha revelado revoluciones y cambios de paradigma en las mas diversas ciencias, tan sólo la matemática parece permanecer fiel al ideal ilustrado de una historia en permanente progreso lineal y acumulativo.

La alternativa marxista a este tipo de historiografía es una buena muestra de la ambición -pero también de la impotencia- de esta escuela en sociología del conocimiento. Las historias sociales de las matemáticas que elaboran autores como Restivo o Ribnikov aducen dos tipos de `causas' para dar cuenta de la evolución de las matemáticas. Unas causas -políticas- pretenden explicar, por ejemplo, la aparición del cero y los grandes números en la matemática hindú como "productos de la clase sacerdotal dominante para aterrorizar a la población". Pero explicaciones así levanten muchos más problemas de los que resuelven: ¿por qué, de entre todas las clases sacerdotales dominantes, sólo la de la India construye precisamente esos objetos matemáticos como medio de terrorismo religioso? ¿por qué la población hindú se siente aterrorizada ante los mismos objetos que, por el contrario, reconfortan a otros pueblos como el chino? ¿o es que, aunque hoy les demos un mismo nombre, no se trata en realidad de los mismos objetos?

El otro tipo de causas -ahora económicas- indagado por la historiografía marxista explica, si cabe, aún menos, de tanto querer explicarlo todo. El recurso plano a unas necesidades prácticas siempre aducidas ad hoc suele exigir ampliar el concepto de `necesidad' y el de `práctica' hasta hacer de ellos, no ya conceptos, sino auténticos comodines verbales sin significado, pues han de alojar como necesidades prácticas desde los rituales religiosos (las primeras emergencias del número pi tienen lugar en la construcción de altares que han de atenerse a rigurosas proporciones simbólicas) hasta las disputas teológicas (como las que precedieron a la conceptualización matemática de los números infinitesimales), cuando no ocurre que tales necesidades prácticas resultan tener efectos retroactivos (como es el caso de construcciones matemáticas que, como la teoría de grupos o el álgebra tensorial, no encontrarán aplicación práctica hasta mucho tiempo después de su elaboración formal).

La especial resistencia que encuentra el pensamiento matemático al análisis sociológico puede entenderse desde el papel que la propia sociología le asigna en su intento de constituirse como ciencia. Ya el inaugural Discurso sobre el espíritu positivo comteano atribuye a la matemática una doble función. Por una lado, la de constituir "la única cuna necesaria de positividad racional", la de ocupar el lugar primero y ejemplar en la inmutable jerarquía de las ciencias, que irá así descendiendo de la matemática a la astronomía, la física, la química, y la biología hasta llegar a la sociología. Por otro lado, y en consecuencia, al constituir la matemática la fuente de unidad de las ciencias, proporciona para Comte esa sensación de cohesión social y de progreso en que se funda la nueva religión de la Humanidad. Esa doble dimensión -de fundamento y ejemplo de racionalidad y de nueva creencia compartida- excluirá en el futuro a las matemáticas, como observa Mary Douglas, de los modos de conocimiento susceptibles de investigación sociológica, o condenará a los escasos intentos de hacerlo a moverse entre las acusaciones de irracionalismo o de impiedad.

Así, la sociología del conocimiento de Mannheim, pese a la extensión de su concepto de ideología y al relativismo con que se vió calificada, mantiene para la lógica y las matemáticas un carácter absoluto, socialmente incondicionado. "En el conocimiento exacto y matemático -afirma en Ideología y utopía-, a diferencia del político y social [sí emparentados con lo irracional], la génesis [social] no tiene nada que ver con los resultados". Expresando el espíritu de su época (una época que, sin embargo, había ya asistido a la primera gran crisis de la modernidad: la de los fundamentos de las matemáticas, como consecuencia de las paradojas de la teoría de conjuntos), también para Mannheim sujeto y contexto social son del todo irrelevantes en la construcción del pensamiento formal.

Será David Bloor (1973) quien marque el punto de inflexión en la consideración sociológica de las matemáticas y de la lógica. Inspirándose en tradiciones tan dispares como las que representan Wittgenstein, Spengler, Durkheim o Stuart Mill, Bloor (1976) desarrolla la tesis de que la objetividad matemática no es intrínseca (como mantiene el Frege de los Fundamentos de la aritmética frente al Sistema de la lógica de Mill) sino social. Una objetividad derivada de su carácter de creencia institucionalizada. El campo de la lógica, en particular, sufre -según Bloor- dos tipos de determinaciones sociales: el de la experiencia acumulada por una colectividad dada y el de la negociación de los que han de tenerse como principios lógicos. Un silogismo en Bárbara -como "Todo hombre es mortal, etc."- sólo puede sentar la premisa mayor en tanto que es el resultado, por inducción, de la experiencia pasada: es la tradición, el hábito, quien funda las premisas de un silogismo. Y deducir la conclusión de las premisas no es sino hacer actuar el pasado sobre el presente, actualizar el registro de la memoria colectiva que se aloja en la premisa mayor. No hay, pues, deducción propiamente hablando, sino interpretación: interpretación de lo actual y concreto a partir de lo anterior y colectivo. El mismo análisis puede hacerse también de los axiomas matemáticos y de principios lógicos como el de causalidad.

Los principios lógicos, por otra parte, tampoco están dados de una vez por todas sino que son productos de continuas negociaciones de sentido entre las distintas interpretaciones que pueden abrirse ante cada dificultad que cause su aplicación. Por ejemplo, el principio que afirma que "el todo es mayor que la parte" es aducido por Stark como el máximo argumento anti-relativista: "es imposible imaginar una sociedad que no reconozca este aserto". Y sin embargo, en aritmética transfinita es `falso'. Si llamamos N al conjunto de los números naturales y P al de los números pares, pueden observarse dos resultados contradictorios. Por una parte, N tiene el doble de elementos que P (por cada dos números naturales hay sólo uno par), y aquí el principio se cumple. Pero, por otra parte, N tiene el mismo número de elementos que P (podemos ir emparejando uno a uno los elementos de cada uno de ambos conjuntos), y ahora el principio falla. La decisión de Cauchy fue impugnar los conjuntos transfinitos por implicar contradicciones lógicas. La que se acabó adoptando fue la de renegociar el sentido del principio y la definición de conjunto, hasta el extremo de integrar la contradicción en la propia definición y así anular sus efectos desazonadores: conjunto infinito será, desde entonces, aquél que sea equipotente con -o sea, que tenga tantos elementos como- alguna de sus partes. Para Bloor, esta negociación de sentidos es posible porque a un modelo empírico de interpretación ("los objetos son ordenables por tamaños" se puede imponer otro ("emparejar objeto a objeto") con no menor base empírica. Los principios informales, `naturales', latentes proporcionan así el material empírico del que se seleccionan (según intereses, preocupaciones, objetivos) los principios formales, a los que la comunidad científica (o matemática), tras haber negociado cierta convención, dota de autoridad.

Pero es precisamente en este convencionalismo empirista, en este realismo naturalista donde, a mi juicio, se sitúan los límites y los puntos ciegos del programa fuerte. "Es el comportamiento de los objetos físicos -afirma Bloor, siguiendo a Mill- el que sirve de modelo a nuestro comportamiento, pero -y ahora sociologiza el psicologismo de aquél- de todos los comportamientos posibles sólo actúan como modelos los que han sido ritualizados como tales por la sociedad". Ante lo cual pueden presentarse, al menos, dos objeciones. Primera, ¿tienen los objetos físicos y sus comportamientos esa rotundidad natural? ¿no está a menudo el objeto físico definido precisamente por una cierta convención matemática, como es el caso, p.e., del electrón definido por su función de onda? Segunda, ¿qué comportamiento de qué objetos físicos, qué experiencia sensible hay debajo de objetos matemáticos como el cero o los números imaginarios, o debajo de construcciones tan fantásticas como las geometrías no-euclídeas?

Bloor elude este tipo de casos, que sin embargo son precisamente los más interesantes, pues en su `imposibilidad' natural viene a precipitar todo el caudal de metáforas y creencias sociales en que se instituye cada imaginario colectivo. Bloor sólo afronta, y a regañadientes, el caso del cero: ahí no le queda más remedio que dar la razón a Frege frente a Mill, asume la crítica de aquél pero no su conclusión: ciertamente, el cero no es correlato de ninguna experiencia sensible pero tampoco es una entidad eidética. Es el producto de una convención. Y punto. A continuación Bloor pasa a otro tema. Pero no se para a investigar cuándo ni cómo se estableció tal convención. Si lo hubiera hecho, habría tenido serias dificultades. Algunas sociedades, como la griega, al cero no podían ni verlo. Los árabes admitieron ciertos ceros (como los que indican ausencia de cifra en 1025) pero no otros (como el de ax²+bx+c = 0), con lo cual surge además el problema de si no habrá varios ceros. Y en China no hubo la menor posibilidad de convención entre expertos porque resulta que la existencia del cero es allí una evidencia ancestral. Toda la radicalidad del programa fuerte choca con el mismo cerco cultural que limita al empirismo en general. Al reducir toda explicación al doble juego de la supuesta base empírica subyacente y de las convenciones entre expertos, queda ciego tanto a la dimensión histórica de los contextos sociales y de los procesos de conocimiento, como a una dimensión del imaginario social que rebase la mera acumulación inductiva de experiencias personales anteriores.

Las aproximaciones antropológicas y hermenéuticas, habitualmente más advertidas contra el etnocentrismo que supone el dar por sentados los modernos valores del occidente desarrollado como pauta universal de juicio, ofrecen numerosas sugerencias para una sociología del pensamiento formal. Ya Nietzsche -en Sobre verdad y mentira en sentido extramoral- incitaba a pensar el lenguaje de la ciencia, el lenguaje matemático, como mitología congelada, como residuos acartonados y desecados de metáforas que, en su origen, estuvieron vivas. También el Wittgenstein de las Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas desarrolla toda una `antropología imaginaria' en la que imagina tribus para las que los resultados de las operaciones dependen del contexto en que las efectúan o donde la aparición de una contradicción es más un estímulo para el pensamiento que un callejón sin salida. No en vano parece que la reflexión sobre un lenguaje cuyos términos carecen de referente empírico, como es el lenguaje matemático, movió decisivamente al Wittgenstein del Tractatus a abandonar aquella concepción del lenguaje como representación para pensar en términos de juegos de lenguaje que son formas de vida.

Pero es en Las formas elementales de la vida religiosa donde encontramos el primer estudio empírico de las raíces antropológicas del pensamiento formal. Las principales categorías lógicas y matemáticas (tiempo, espacio, cantidad, causa) se analizan ahí como formas decantadas del pensamiento religioso. La extensión que Granet hace de este enfoque a la concepción del número, el espacio y el tiempo en China acaso sea el mejor ejemplo de lo que puede dar de sí una antropología del pensamiento formal, pese a que el desconocimiento de Granet de los arcanos del lenguaje matemático (más impenetrable para él que el chino) le impidan explotar muchas de las potentes intuiciones que pueblan La pensée chinoise.

Lamentablemente, los estudios empíricos posteriores, bien ignoran estas aproximaciones, bien ceden al que parece ser fascinante atractivo de la operación inversa: en lugar de buscar en contextos simbólicos concretos y territorializados las raíces de cada modo de formalizar, prefieren casi sin excepción desarraigar éstos y medirlos con la vara común de la actual matemática occidental. La metodología propuesta por la antropología cognitiva de Dan Sperber ofrece potentes instrumentos analíticos para recorrer aquel camino abandonado: investigar lo que los símbolos matemáticas tienen de símbolos (en el sentido pleno) y no de meros significantes, sorprender a los objetos y operaciones matemáticas, como quería Nietzsche, en el momento de su estarse haciendo, allí donde el matemático -como el científico de Lévi-Strauss- actúa como un bricoleur, claveteando como puede los residuos que tiene a mano: residuos que son simbólicos y lingüísticos, el material que pone a su disposición la comunidad y la tradición.

Lo simbólico no consiste, para Sperber, tanto en un repertorio de objetos (símbolos) a interpretar o utilizar, cuanto en un dispositivo de conocimiento que actúa cuando el dispositivo conceptualizador resulta insatisfactorio. Este dispositivo simbólico no actúa sobre unos símbolo predefinidos, a los que interpretaría o deconstruiría, sino sobre problemas o situaciones para los que no hay conceptos elaborados: es un dispositivo de construcción de significado. Así, por ejemplo, a la hora de intentar pensar un olor, para el que carecemos de un repertorio semántico adecuado, se produce un doble movimiento, a la vez afectivo e intelectual: 1º) un movimiento de focalización en una imagen, sensación o concepto que funciona como co-relato analógico del olor que se quiere pensar; 2º) una cascada de evocaciones convocadas por el poder atractor de aquel foco, sobre el cual vienen a precipitar, contribuyendo a darle forma. Este doble movimiento se correspondería con las operaciones de desplazamiento y condensación que considera Freud, y con los dispositivos metafórico y metonímico que para Jakobson estructuran cualquier lenguaje. Desde esta perspectiva, es el proceso simbolizador -y no la matemática, según el proyecto leibniziano- el que está en el origen de todo lenguaje. Y, en particular, en el origen del lenguaje matemático y lógico.

Efectivamente, en cada problema matemático aún sin resolver, en el origen de cada concepto formal cuando aún no lo era, fracasa la conceptualización anterior igual que fracasa nuestro repertorio enciclopédico ante los olores. Y cada una de esas construcciones puede pensarse en términos de un proceso de simbolización. De hecho, las situaciones en que el antropólogo suele observar la actuación de dispositivos simbólicos en sociedades primitivas apenas difieren de las análogas en las tribus de matemáticos y epistemólogos. Aplicando estos criterios, hemos podido analizar (E. Lizcano, 1993) las diferencias radicales con que tres sociedades distintas -la griega clásica, la del alejandrinismo tardío y la china antigua- construyen sus modos respectivos de pensamiento formal, lógico y matemático. En particular, al considerar la emergencia de ciertos objetos matemáticos, como pueden ser el `cero' y los `números negativos', cada una de estas culturas focaliza un ámbito -que podemos llamar de negatividad- que pone en acción todo un magma de prácticas y saberes extra-matemáticos con los que se construirán tales objetos. En ese ámbito de la negatividad van a anudarse elementos tan dispares como la estructura de ciertas prácticas adivinatorias, la materialidad de los instrumentos de cálculo (gnomon griego o palillos chinos sobre un tablero de cálculo), emociones colectivas (como la aversión o atracción por el vacío), la estructura gramatical de las respectivas lenguas vernáculas y la carga semántica de los términos importados al discurso matemático, o pre-nociones con una fuerte impregnación simbólica y mítica (como los argumentos griegos contra el vacío o el complejo simbólico chino articulado en torno a los términos yin/yang/dao).

Así, puede observarse que en China emergen una pluralidad de negatividades formales (no todas estrictamente matemáticas) enraizadas en el complejo simbólico fundamental yin/yang/dao, que dispone a su razón a operar en términos de oposiciones que pivotan sobre un `hueco' o `centro': el dao. Esta matemática es deudora de una concepción cualitativa y simbólica del espacio de representación, que distingue lugares (lugares que así significan) y se hace solidario con cierta concepción del tiempo; de ciertos procesos de racionalización asociados a la singularidad de su lengua (evocación frente a definición, simetría e inversión frente a linealidad...); y de un modo de pensar que descansa en los criterios pre-lógicos `de oposición' y `de equivalencia'. Conceptos como los de `cero' o `magnitudes opuestas (positivas y negativas)', y sus modos de operar, emergen así en China de una modo `natural', es decir, no son sino formalizaciones de pre-conceptos ya implícitos en su imaginario social.

En la Grecia clásica no es un criterio básico de oposición sino uno de `determinación' -o puesta en límites- el que orienta el pensamiento. Y desde ahí es imposible pensar ni construir objetos como el cero o los números negativos. En el modo de pensar griego, la primacía de oposiciones del tipo `ser/no-ser' o `determinado/indeterminado' subsumirá, lo que en China son determinaciones negativas, en el caos indistinto de la indeterminación: lo vacío como no-ser y como imposibilidad (Aristóteles) dibuja en Grecia la frontera de lo impensable, mientras que para la episteme -y la matemática- china el vacío juega el papel de gozne que articula las determinaciones opuestas (yin/yang). Otros dos factores que contribuyen a conducir esta matemática por desarrollos ajenos a una forma propia de negatividad son: uno, una reflexión teórica sobre el número, en términos de `multitud determinada de unidades', que exigirá naturalmente un espacio de representación concebido como extensión delimitada (en la que una hipotética magnitud negativa no puede -literalmente- ni verse); el otro, una manera de pensar no analógica sino fundada en procesos de abstracción e imbricación de géneros y especies (diferencia específica). La exigencia de un sustrato del que sustraer o diferenciar pondrá así en la sustracción o diferencia (en la resta) el límite griego para la negatividad, como en China la exigencia de oposición lo que ponía era un punto de arranque para construirla.

Otras aproximaciones a una sociología del pensamiento formal adoptan un enfoque etnometodológico, ya se centren en fenómenos textuales, ya en las prácticas matemáticas latentes en las actividades cotidianas de comunidades concretas (habitualmente, comunidades primitivas). La primera orientación es la desarrollada por Livingston (1986) al ir siguiendo paso a paso las distintas demostraciones que integran el teorema de Gödel, procurando resaltar sus presupuestos implícitos y presentando como no tan familiar lo que suele darse por descontado. La segunda orientación es la practicada por la llamada etnomatemática. Estos estudiosos vienen conjugando una especial sensibilidad etnológica con fuertes conocimientos matemáticos, de los que habitualmente solían carecer los antropólogos.

Pero las investigaciones en este campo son aún trabajos aislados y heterogéneos. La aproximación semiótica de Rotman (1987) muestra cómo la construcción renacentista del cero se correlaciona con la del punto de fuga en arte y la del dinero imaginario en economía. Philip Kitcher (1983) intenta aplicar el modelo de Kuhn al desarrollo de las matemáticas. De él toma la noción de paradigma, pero rechaza cualquier ruptura o discontinuidad en los cambios de paradigma: la matemática, a diferencia de las ciencias naturales, parece dotada -también para Kitcher- de una singular lógica interna que confiere un carácter lineal y evolutivo a su progreso histórico. Más fiel al espíritu kuhniando es el enfoque de Serres (1967), para quien cada nuevo paradigma reescribe toda la matemática anterior hasta el punto de hacerla irreconocible.

Los llamados estudios sociales de la ciencia, que tan fructíferos se están mostrando para el estudio de las ciencias naturales, apenas se han extendido a las ciencias exactas. Una interesante excepción es la de Donald MacKenzie (1993), que muestra cómo la selección de las aritméticas que se han acabado imponiendo para los lenguajes de ordenador no se llevó a cabo por demostración de su mayor consistencia o rigor sino por negociación entre las empresas en competencia. Más aún, cómo se negocia incluso lo que ha de entenderse como una prueba matemática para la corrección de estos programas.

Por último, otra línea interesante de investigación se centra, no en la construcción social de las matemáticas y la lógica, sino en su uso en las ciencias sociales (véase Ciencia e ideología). En el marco de la tradición francesa, Alain Desrosières (1993) estudia la doble dimensión, cognitiva e institucional, del empleo de estadísticas (o ciencia del Estado). Las estadísticas construyen instituciones que construyen estadísticas... Estas `cosas' así construidas por meros tratamientos y manipulaciones numéricas adquieren la rotunda consistencia -como observara Durkheim- de `hechos sociales': como `el hombre medio', `la salud', `las mayorías parlamentarias', las `clases sociales', etc. Para Desrosières, la historia social de la estadística no dice tanto sobre las sociedades que se estudian con estos procedimientos como sobre los intereses del Estado y de las instituciones que las encargan, así como también sobre las categorías mentales -categorías de etiquetación y clasificación- de los sociólogos que llevan a cabo estos estudios.

En el ámbito anglosajón, son muy interesantes los estudios sobre el trasvase de modelos -entendido como transferencia de metáforas y de la autoridad social conferida a algunas de ellas- entre las ciencias sociales y las ciencias exactas. Puede considerarse ejemplar el estudio donde Philip Mirowski (1990) observa cómo la teoría del caos y la geometría fractal la fue desarrollando inicialmente Mandelbrot al intentar pensar ciertos problemas económicos, como la formación de carteras de valores en los mercados financieros. Pero sus implicaciones (inaceptables para la ciencia económica dominante, pues exigían renunciar a toda esperanza de determinismo y de predicción) fueron ignoradas por los expertos o discutidas con desprecio y malos modos, sin entrar para nada en el asunto. Fue necesario que Mandelbrot, hastiado por el bajo tono del debate, reorientase sus estudios matemáticos sobre fenómenos caóticos hacia la física, la meteorología y la generación de gráficos por ordenador, para que merecieran de nuevo la atención de los economistas. Junto al modelo, ahora se importaba su prestigio. Pero el modelo era ya inválido para los fenómenos económicos. La evolución de la matemática del caos en termodinámica había desarrollado una teoría tan restrictiva (nº fijo de grados de libertad en el espacio de fases, condiciones limitadas de los sistemas disipativos, etc) que resulta inaplicable a los fenómenos aleatorios en economía, por más que se haya puesto de moda y por más que permita mantener la ilusión de un cierto determinismo y capacidad predictiva, tan querida a la economía neoclásica.

Una conclusión similar, pero ahora utilizando técnicas de análisis retórico del discurso, es la obtenida por Donald Mc Closkey (1990), para quien la teorización matemática en economía es metafórica y literaria, si bien -corroborando la intuición nietzscheana- se trata de metáforas que, con el paso del tiempo, se han olvidado que son tales, y se importan, años después, con el prestigio que aportan unas fórmulas matemáticas aparentemente sólo instrumentales.

Recientemente, he intentado sistematizar (E. Lizcano, 1999) todas estas aproximaciones mediante el esbozo de un socioanálisis metafórico de los conceptos formales, que incorpora numerosas variables sociológicas al estudio de la construcción del pensamiento formal y matemático.



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