La noción de lo difuso o borroso apareció, en un principio, en el campo de la matemática, concretamente en la teoría de los conjuntos difusos (o borrosos) que comenzó a desarrollar L. Zadeh [1965] como "un sistema que proporciona una vía natural para tratar los problemas en los que la fuente de imprecisión es la ausencia de criterios claramente definidos de tipos de pertenencia". Mas pronto esta idea rebasó el ámbito estrictamente matemático, invadiendo otras disciplinas: la semántica, la lógica, la psicología, la física, la economía, la geografía, la inteligencia artificial, etc. El desarrollo ha sido espectacular: en 1978 comienza la publicación de la revista Fuzzy Sets and Systems, dedicada, con uno  o dos números mensuales, a cuestiones específicas de sistemas difusos. Este revista es publicada por la IFSA (the International Fuzzy Systems Association), dedicada, con sus publicaciones y congresos, al apoyo y desarrollo de la teoría de los conjuntos y sistemas difusos y sus aplicaciones. En Francia sale, desde 1980, el boletín cuatrimestral BUSEFAL (Boulletin for Studies and Exchanges on Fuzziness and its Applications). Y en chino se publica la revista Matemática difusa. Actualmente las publicaciones sobre lo difuso son decenas de miles, recogidas, periódicamente, por D. Dubois y H. Prade en "Recent literature", (en Fuzzy Sets and Systems).

 Lo difuso, para Zadeh, es algo inherente en el conocimiento humano en general (o en buena parte), y, por lo tanto, es un componente esencial de cualquier teoría. Otra de las motivaciones de Zadeh es lo que él llama principio de incompatibilidad: en la medida en que crece la complejidad de un sistema, en esa misma medida disminuye nuestra capacidad para hacer precisos y aun significativos enunciados acerca de su conducta, hasta alcanzar un umbral más allá del cual la precisión y la significación (o relevancia) resultan, casi siempre, características mutuamente excluyentes.

 La metodología de los sistemas difusos responde, según lo anterior, a la urgente necesidad de elaborar otros modelos, diferentes de los de la lógica y de la teoría de conjuntos clásicos, que están demandando extensos campos conceptuales en los que realmente hay vaguedad e imprecisión. El objetivo es tratar lo difuso de manera sistemática, aunque no necesariamente cuantitativa, por cuanto que los elementos clave en el pensamiento humano no son números, sino rótulos (marcadores) de conjuntos difusos, i. e., clases de objetos en los que la transición de la pertenencia a la no pertenencia es gradual más bien que abrupta. Por ejemplo: "muy atractiva", "extremadamente inteligente", "bastante aceptable", "más o menos acertado", "casi verdad", etc. Tales conjuntos vienen determinados (definidos), no como los conjuntos en sentido clásico: por una definición extensional o intensional   --la cual garantiza, y por igual, la pertenencia de sus elementos--,   sino por referencia a un contexto, por un procedimiento "semántico" más bien que "sintáctico"; quedan determinados por referencia a dominios específicos (locales).

 La teoría de los conjuntos difusos y sus ulteriores desarrollos , la lógica difusa y la teoría de la posibilidad, constituyen modelos que resultan especialmente útiles para tratar con la incertidumbre de manera más "natural" y más "humana" que la lógica y la teoría de conjuntos clásicas. Los sistemas extraídos de la lógica clásica presentan las dificultades de la rigidez y la bivalencia, y resultan, por ello, inservibles para expresar la ambigüedad del significado que se da en el lenguaje natural, base fundamental de nuestros procesos cognoscitivos y de la interacción hombre - máquina en la Ingeniería del Conocimiento.

 Ciertamente existen ya otras metodologías, extraídas de la teoría de la probabilidad, para tratar con la incertidumbre: inferencia bayesiana, probabilidad subjetiva, teoría de la evidencia de Dempster y Shafer, etc., pero hay cierto tipo de incertidumbre de la que no puede dar cuenta la teoría de la probabilidad. Está la incertidumbre como medida de probabilidad de sucesos; la incertidumbre reside, entonces, en la aleatoriedad (azar) de los sucesos, aun cuando éstos sean precisos y las proposiciones correspondientes sean inambiguamente verdaderas o falsas. Por ejemplo: "el próximo mes nevará", "Lanza el dado y saca un as", etc. Este tipo de incertidumbre constituye fundamentalmente el campo de la teoría de la probabilidad. Pero la incertidumbre puede provenir de la imprecisión. La imprecisión viene causada por la ambigüedad o por la  vaguedad, inherentes ambas en el significado de la mayoría de los términos utilizados en el lenguaje ordinario: (a) La ambigüedad se produce cuando hay un conjunto  discreto de posibles significados, lo cual produce incertidumbre acerca de cuál es el apropiado en una determinada instancia de uso (polisemia). Y (b) la vaguedad se refiere a un espectro continuo de interpretaciones, bien a causa de la ausencia de límites precisos, como en el caso de los antónimos (frío - caliente) y otros: valiente, alto, atractiva, etc., bien a causa de una multiplicidad de criterios de uso, lo que conduce a un conjunto de significados que se solapan; por ejemplo, los términos "juego", "papel".

 Los predicados ambiguos o vagos inducen conjuntos difusos en el sentido de Zadeh. Los predicados (cuantificadores, cualificadores) vagos son intrínsecos en los lenguajes naturales; producen, por tanto, necesariamente en éstos incertidumbre en los enunciados de los que son constituyentes. Y este tipo de incertidumbre es naturaleza no-probabilística: no depende del azar; no deviene clarificada con el paso del tiempo o con la testificación. Antes bien, reside en el significado de las palabras; es, pues, inherente en el lenguaje, y, dado que éste es inseparable del pensamiento humano, siempre tendrá lugar en mayor o menor medida y ocupará buena parte en nuestros procesos cognoscitivos. El cálculo de probabilidades sirve para determinar en qué medida cabe esperar (esperanza matemática) que suceda, o no, algo concreto. Los sistemas difusos permiten medir el grado en que algo está sucediendo ya.

 En una serie de trabajos emprende Zadeh [1978, 1984, 1986, 1992] la construcción de modelos para tratar con la incertidumbre no-probabilística, empezando por el diseño de un metalenguaje llamado PRUF (letras iniciales de Possibilistic Relational Universal Fuzzy), con el propósito de representar el significado de los lenguajes naturales. Pero los modelos de representación y computación del significado del lenguaje ordinario, del conocimiento ordinario y del razonamiento ordinario se han multiplicado rápidamente el los últimos años, y el número de proyectos crece, no ya por años, sino por meses.

 2. Variable lingüística

 La noción de variable lingüística sirve, en la teoría de Zadeh, para el tratamiento sistemático de la imprecisión causada en los enunciados por sus constituyentes vagos o ambiguos, que inducen conjuntos difusos. Así, dado un enunciado de la forma:
   El (atributo) de un objeto es (valor)
 Por ejemplo:
   . El grosor del árbol es 3 m. de diámetro
   . La edad de Juan es 25 años
   . La estatura de María es baja
   . La temperatura del paciente es muy alta
 En donde el atributo y el objeto pueden quedar combinados en el concepto de variable, ("el grosor del árbol", "la edad de Juan", ...), resultando así el esquema siguiente:
     X  es  V
 Siendo X la variable, atributo (objeto), y V el valor.

 Ahora bien, V puede ser numérico (3 m. de diámetro, 25 años) o lingüístico (baja, muy alta). En este último caso, las variables correspondientes (Estatura, Temperatura) se denominan variables lingüísticas.

 En los sistemas lógicos o matemáticos clásicos los valores son tomados como atómicos (incluso en el sistema de lógica infinitamente valorada de Lukasiewicz), sin ulterior especificación de su significado. Los sistemas difusos, en cambio, utilizan valores lingüísticos, lo que permite refinar el significado de los valores asociados a las variables. El tratamiento, entonces, que Zadeh propone para este tipo de enunciados   --los más usuales en el lenguaje ordinario y sobre los que se basan la mayoría de los razonamientos comunes--   es el siguiente:

 Dado el enunciado difuso, i. e., un enunciado con predicado vago, por ejemplo:
     "Juan es joven"
 O en la forma antes indicada:
     "La edad de Juan es joven",

 La variable lingüística X, Edad(de Juan), toma el valor lingüístico V, joven, sobre un universo de discurso U = {u} (generalmente una escala numérica), en el que toma su valores cuantitativos, y respecto de los cuales es denominada variable-base. En este caso, siendo U = {u} los años en edad, la variable-base, X, toma valores numéricos en el intervalo de cero a 120 años,por ejemplo: U   [0,120]. El valor lingüístico V (joven) es, pues, un subconjunto difuso del conjunto U; es un restrictor que marca un cierre elástico sobre los elementos u de U (sobre los valores numéricos de la variable-base); y viene caracterizado por su función de pertenencia (o función de compatibilidad):
     µjoven : U   [0,120]

 Que asigna a cada u de U (cada edad en años) su grado de pertenencia (o de compatibilidad) al conjunto difuso joven:
     µjoven (u)
 Por ejemplo:
     µjoven (25) = 0,87
 Lo que significa que la asignación de 25 años a Edad(de Juan) es compatible en grado 0,87 con el conjunto difuso joven. O formulado de otro modo: que Juan, con la Edad que tiene (25 años) pertenece al conjunto difuso joven en grado 0,87.

 Los valores lingüísticos son predicados vagos, que inducen conjuntos difusos en el sentido de Zadeh. Cada uno de estos valores denota, no una unidad (o un punto o elemento), sino un subconjunto difuso; el significado de aquél viene expresado por la función de pertenencia de éste; y todos los subconjuntos (valores lingüísticos) difusos quedan estructurados en un conjunto de valores a partir de uno de ellos, llamado término-base, y sus correspondientes marcadores lingüísticos: muy, no, más o menos, bastante, etc. Así, en nuestro ejemplo, el conjunto   de valores lingüísticos sería:
     = {joven, no-joven, muy joven, más o menos                        joven, viejo,...}

 En donde el término-base es joven; y a partir del cual cabe generar los demás términos (valores) algorítmicamente. Dado que el significado de un término viene expresado por su función de pertenencia (o de compatibilidad), cabe computar fácilmente la expresión de la función de pertenencia de cualquier término de   (conjunto de valores lingüísticos) a partir de la función de pertenencia del término-base. Cuando el conjunto   y el significado (la función de pertenencia) de cada uno de sus valores lingüísticos pueden ser caracterizados algorítmicamente, se dice que la variable lingüística X  está estructurada.
 

 3. Operaciones sobre conjuntos difusos

 Dado un universo de discurso, U (por ejemplo: el conjunto de todos los números reales; el conjunto de las oraciones de un libro; el conjunto de todos los residentes de una ciudad, etc.), un subconjunto finito difuso F  de U, cuyos elementos son u1, u2, ..., un, viene expresado así:
 F  = µ1 u1 + ....... + µn un
 O de manera equivalente:
 F  = µ1/u1 + ....... + µn/un

 En donde los µi (i = 1, ....., n) representan los grados pertenencia de los ui a F. Los µi son tomados como siendo del intervalo [0,1], denotando 0 la no pertenencia, y 1 la pertenencia total. De manera que representando un conjunto difuso finito como una forma lineal en los ui, un subconjunto difuso de U puede ser expresado en la forma de una integral:
 F =  U µF (u) / u

 En donde µF : U    [0,1] es la función de pertenencia (o función de compatibilidad) de F, y la integral  U denota la unión de las unidades difusas µF (u) / u  en el universo de discurso U. Los puntos de U, tales que µF (u) > 0, constituyen el soporte de F. Los puntos para los que µF (u) = 0,5 constituyen los puntos cruciales de F.

 Dados dos subconjuntos difusos, F y G, de U, Zadeh define las siguientes operaciones binarias:
Unión: F   G  =def.  U µF (u)     µG (u) / u
Intersección: F   G  =def.  U µF (u)     µG (u) / u
Suma limitada: F   G  =def.  U 1   (µF (u)  +  µG (u)) / u
Diferencia limitada: F   G  =def.  U 0   (µF (u)  -  µG (u)) / u
en donde   y   denotan, respectivamente, máximo y mínimo.

 Entre las operaciones monarias (modificadores de valores lingüísticos), define las siguientes:
 . no = la negación, que hace equivaler a la complementación de un conjunto difuso F, es representada por F', y se define:
                  F' =def.  U (1 - µF (u)) / u
 . El dual de un conjunto difuso debe ser distinguido de su complemento; se representa por DF, y se define:
             DF =def.  U   1 - F, esto es:
     DF =def.  U   µF (1-u) / u
  . Muy. Zadeh hace amplio uso del marcador lingüístico muy,  operación monaria llamada concentración, que viene definida así:
    muy F =def.  U  F2, esto es:
                muy F =def.  U  (µF (u))2 / u
 . Más o menos, operación monaria, inversa de la anterior, llamada dilatación y definida así:
  Más o menos =def.  U   F, esto es:
          Más o menos =def.  U (µF (u))½ / u
 Se definen también las siguientes relaciones entre conjuntos difusos:
 .Relación de equivalencia:
   F   G =def.  U (µF (u) = µG (u))/ u
 .Relación de inclusión:
  F   G =def.  U (µF (u)   µG (u))/ u

 4. Estructuras sobre conjuntos difusos

 De manera análoga a como sucede con los conjuntos clásicos, de las propiedades y mutuas relaciones de las operaciones entre conjuntos surgen diversas estructuras. A este respecto, en el ámbito de los conjuntos difusos, resultan ya bien conocidas las operaciones binarias T y S (las t-normas y las t-conormas) entre los subconjuntos difusos A y B sobre el mismo universo U, tales que para todo par de elementos x,y de [0,1]:

 µT(A,B) (x) = T (µA (x), µB (x))
 µS(A,B) (x) = S (µA (x), µB (x))

 Una operación T sobre un par de elementos x,y de [0,1] es una aplicación [0,1] x [0,1] sobre [0,1] y se llama una t-norma, si  x,y,z   [0,1] cumple las siguientes condiciones:

 (1) Es no decreciente
 (2) T(x,1) = x            Condición de límite
 (3) si x'    x'', entonces T(x',y)   T(x'',y) Monotonicidad
 (4) T(x,y) = T(y,x)           Conmutativa
 (5) T(x,T(z,y)) = T(T(x,y),z)          Asociativa

Una t-norma T es Arquimediana si:
 (6) Es continua en ambas variables, y
 (7) T(x,x) < x  x   (0,1)

Una t-norma arquimediana es estricta si:
 (8)  es estrictamente creciente en (0,1) x (0,1):
  T(x',y') < T(x,y), si x' < x, y' < y

 Una operación S: [0,1] x [01]   [0,1] es una t-conorma si S tiene las mismas propiedades que T con las siguientes modificaciones:
 (2') S(x,0) = x   x   [0,1]
 (7') S(x,x) > x   x   (0,1)

 Hay una amplia variedad de instancias de t-normas y t-conormas, cuyas propiedades determinantes de un tipo u otro de estructuras han sido también minuciosamente estudiadas [WEBER,1983; GUPTA y QI,1991, etc.]. Una de ellas es la caracterización de Zadeh:
 T(x,y) = mín (x,y) = x   y
 S(x,y) = máx (x,y) = x   y
lo cual añadido a la caracterización de N:
 N(x) = 1-x
permite configurar una estructura algebraica que cumple, además de las propiedades anteriores (1-5), las siguientes:
 (9) T(x,S(y,z)) = S(T(x,y),T(x,z))
  S(x,T(y,z)) = T(S(x,y),S(x,z))Propiedad distributiva de T respecto de S y de S respecto de T

 (10)  S(T(x,y),x) = x
  T(S(x,y),x) = x               Absorción

 (11) T(x,x) = x
  S(x,x) = x                    Idempotencia

 (12) N(T(x,y)) = S(N(x),N(y))
  N(S(x,y)) = T(N(x),N(y))      Leyes de De Morgan
 Se obtiene así una estructura reticular, un álgebra de De Morgan, pero no un álgebra de Boole, por no cumplirse las siguientes propiedades:
 (13) T(x,N(x)) = 0   Principio de no-contradicción.
 (14) S(x,N(x)) = 1   Principio de tertio excluso.
 Si , en cambio, modelizamos la negación de un conjunto difuso A, no como hace Zadeh (y otros): como equivalente a la complementación, sino de la siguiente manera:
      1  si µA (x) = 0
 µ-A (x) =         0  si µA (x) > 0  ..........[2]
o de manera simplificada:
      1  si A = 0
    -A =   0  si A > 0
En este caso, muy usual en nuestro comportamiento habitual, la negación [2] es una aplicación N: [0,1]   [0,1] que cumple:
 (15) N(1) = 0; N(0) = 1
 (16) si x > y, entonces N(x)   N(y). Inversión del orden
No cumple, sin embargo;
 (17) N(N(x)) = x   Involución,
que sí cumple la negación de Zadeh.

 Y, con respecto de T y S, con la negación [2] no se cumple (12): leyes de Morgan; se cumple, en cambio, (13): principio de no-contradicción. Respecto de (14), principio de tertio excluso, hay que señalar que, en el contexto en el que nos movemos, la exclusión del tercero, del cuarto, del quinto, etc., es en disyunción exclusiva: A   B   C  ...  N. Por tanto la negación [2] ha de ser puesta en relación con el funtor   (disyunción exclusiva), no con el funtor   (disyunción inclusiva). Y el funtor  , en lógica, mantiene especiales relaciones (de contradicción) con el funtor  , el cual, a su vez, depende del funtor implicación   y de su formulación. De ahí que la formulación [2] intervenga en la modelización de la implicación que ofrecemos a continuación.

 5. La implicación como operación entre proposiciones difusas

 En este caso, el esquema es I(A,B), en donde I (implicación) es una operación binaria entre A y B, que son proposiciones. En el caso de la lógica difusa las proposiciones toman valores  de verdad (numéricos) en [0,1]. La implicación aparece, entonces, como una operación I: [0,1] x [0,1]   [0,1]. Su modelización viene guiada, como en el caso de T, S y N, por sus propiedades y por las relaciones que mantiene con otras operaciones, salvando siempre que el modelo elegido coincida con la "implicación material" de la lógica clásica cuando del intervalo [0,1] nos quedamos con el conjunto (de valores) {0,1}. Las condiciones que suele exigirse [TRILLAS y VALVERDE,1985] a I son las siguientes, para todo A,B,C   [0,1]
  (21) si A   C, entonces I(A,B)   I(C,B)
  (22) si B   C, entonces I(A,B)   I(A,C)
  (23) I(0,B) = 1   Principio de falsedad.
  (24) I(1,B) = B   Principio de tautología.
  (25) I(A,I(B,C)) = I(B,I(A,C)  Principio de intercambio.

 Son muchas las implicaciones difusas que se han propuesto que cumplen éstas y otras condiciones [WEBER, 1983; DUBOIS y PRADE, 1991, etc.]. Las propuestas buscan que la implicación satisfaga también otras propiedades que tiene en lógica bivalente, si bien, como ya hemos señalado, se ha buscado más las dimanantes de  las relaciones de la implicación con las operaciones algebraicas, unión, intersección y complementación, que las dimanantes de sus relaciones con la negación, la disyunción inclusiva y exclusiva, la conjunción, etc. Nuestra propuesta, más "lógica" que "algebraica", trata de preservar las propiedades de la implicación en sus relaciones con la negación [2], y con la disyunción, exclusiva e inclusiva; es la siguiente:

     1 si B = 1 ó A = 0
   I(A,B) =    B en otro caso ........... [4]

o de manera equivalente:
   I(A,B) = máx.{N(A),B}
entendida la negación N como [2]. La tabla resultante para proposiciones trivaloradas, i. e., A,B   {1, 1/2, 0}, es:
B
A 1 ½ 0
1 1 ½ 0
½ 1 ½ 0
0 1 1 1
 

 En comparación con otras implicaciones, la implicación [4] propuesta aquí:

 (1) Se corresponde con la definición clásica: siendo A el antecedente y B el consecuente, en lógica clásica el valor de verdad de una implicación es igual a 1, si el antecedente es falso (es igual a 0) o si el consiguiente es verdadero (es igual a 1); en otro caso, el valor de la implicación es igual al valor del consecuente.

 Esta propiedad no la cumple, por ejemplo, una de las más usuales, la de Lukasiewicz, definida: I(A,B) = mín.{1,1-A+B,}, que para A = B= 1/2, I(A,B) = 1, resultado éste contraintuitivo. En la [4] (y también en otras, por ejemplo la de Zadeh, I(A,B) = máx.{1-A, mín.{A,B}}) para el mismo caso, el resultado es 1/2, que parece intuitivamente más aceptable , como cuando se interpretaba 1/2 como el valor "ni verdadero ni falso" (o "indefinido"), ya que "indefinido" implica "indefinido" parece que debe resultar "indefinido", y no "verdadero".

 (2) Mantiene, como la implicación en lógica bivalente, estas otras propiedades en relación con las siguientes operaciones:

Con la negación [2]:
 (26) N(A) = I(A,0)   Def. de N en términos de I
 (27) I[I(A,B), I(N(B), N(A))]  Ley de contraposición
Con la disyunción S(A,B) = máx{A,B}:
 (28) I(A,B) = máx {N(A),B}  Def. de I en términos de S y N
Con la conjunción T(A,B) = mín{A,B}:
 (29) I(A,I(B,C)) = I(T(A,B),C)  Principio de importación
 (30) I(A,I(N(A),B)) que por (29) equivale a:
  I(T(A,N(A)),B)   Ex contradictione quodlibet
Con la coimplicación C:
 (31) C(A,B) = T(I(A,B),I(B,A))  Def. de C en términos de I y T
Con la disyunción exclusiva E:
 (32) E(A,B) = N(C(A,B))  Def. de E en términos de C
 (32a) C(A,N(A)) = 0
 (32b) E(A,N(A)) = 1   Principio de delimitación
 (33) I[T(E(A,B),A), N(B)]  Silogismo disyuntivo
Con la regla de inferencia M. P.
 (34) Si T(A,I(A,B) = 1, ent. B = 1 Modus Ponens

 La elección de un operador de implicación difuso resulta de suma importancia para los métodos del razonamiento aproximado y sus aplicaciones: diseño de sistemas de inferencia difusa y controladores de lógica difusa. Pero, en todo caso, a la hora de optar por una u otra implicación se ha de tener en cuenta la materia a tratar, la naturaleza de los argumentos sobre los que recaen ella y otras operaciones con ella relacionadas. Aquí hemos propuesto un tipo de negación [2], y un tipo de implicación [4], relacionadas entre sí y con otras operaciones (la disyunción exclusiva, principalmente), en el contexto de subconjuntos difusos disyuntos (siendo n   3) y de las proposiciones "inanalizadas" multivaloradas con valores en el intervalo [0,1].

BIBLIOGRAFÍA

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